除以零（第3/5页）

他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出一等于二这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。

6A

卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷内，显然是——”

她打断他，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着便拿出一张白纸，在书桌前坐下，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。

她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一栏的顶部写下数字1，另一栏的顶部写下数字2。接着她在这两个数字下面迅速地画了一些潦草的符号，又在这些符号下面把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。

写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号缩短成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己用力过大，下意识地放松握在手中的铅笔。在她写出的下一行上，符号串变成一样的了。接着，她重重地画了个“=”号，横过纸的底部中心线。

她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照办了，“再看一看最下面。”

他眉头紧锁。“我还是看不懂。”

“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”

卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”

“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”

卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”

“但在形式上它们是相等的，证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”

“但你得出了一个矛盾的结果？”

“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”

6B

“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”

“不对，你没有明白我的意思。你以为我是因为这个才焦头烂额的吗？证明本身并没有错误。”

“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”

“正确。”

“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然可以肯定。他想知道她到底想得出什么结论。

“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学，这门学问全都没意义了。”

她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择字眼，“你怎么能这么说？数学仍然有用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”

“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏，是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”

“不一样。”

“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这也意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了；数学是自相矛盾。”

卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到的虚数这类想象出来的概念，大家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”

“不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添了新的内容，而我的形式系统却是给已经存在的东西下定义。”

“但是，如果你改变语境，从不同的角度探索——”

她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。”

7

一九三六年，格哈德·根岑提出了一种对算术一致性的证明，可是要作出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。

7A

卡拉汉从伯克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的，而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，如果这个体系的确包含他们两人都无法发现的错误，数学界肯定会有其他人能够发现。

雷内几乎没有听他说话，只是嘀咕以后会打电话联系他。近来，她与人讲话很困难，尤其是那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉。前一天夜里她做了一个噩梦，梦见自己发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。

有一种可能性让她十分惊恐：她可能正在失去理智。她的思维肯定已不再清晰，这与失去理智已经相差无几了。

她责备自己，你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后自杀了吗？

但是，哥德尔的定理是优美的，让人肃然起敬，是雷内所见过的最优美的定理之一。

而她自己的证明却嘲讽她，讥笑她。就好像益智书中的一道难题，它说：这下我可把你难住了。你跳过这个错误，查看自己在哪儿出了问题，结果绕了一圈又兜回来，那个难题再一次对你说：又把你难住了。

她估计卡拉汉也会考虑她的发现对数学的意义。数学的许多内容并没有实际用处，她的理论也可以仅仅作为一种形式而存在，研究它只是为了它所包含的智力美。但这是不能持久的。自相矛盾的理论实在太无意义了，绝大多数数学家只会厌恶地置之不理。